Доклад посвящен разработке математических моделей нестационарных процессов в зерне и слое катализатора. Представлены эффективные вычислительные алгоритмы для моделей, позволяющие за приемлемое время интегрирования получить результаты, адекватность которых проверена сравнением с имеющимися экспериментальными данными и теоретическими оценками.

Математические модели многих процессов в механике сплошных сред (МСС), физике плазмы (ФП) и астрофизике (АФ) представляют собой уравнения в частных производных (УЧП). При создании компьютерных моделей эти уравнения заменяются дискретными уравнениями, которые решаются численно. Для исследования математических и численных моделей МСС, ФП и АФ развита техника построения дисперсионных соотношений. Дисперсионные соотношения описывают волновые процессы (процессы переноса возмущения со скоростью, отличной от скорости движения вещества) в средах. Классическое дисперсионное соотношение – это нелинейное алгебраическое уравнение (связывающее параметры волны – волновое число k и волновую частоту ω), которое ставится в соответствие непрерывной системе уравнений в частных произодных. Существует техника, которая позволяет поставить в соответствие континуальной или дискретной модели МСС, ФП и АФ дисперсионное соотношение (классическое или приближённое соответственно). В лекции будет показано применение приближенных дисперсионных соотношений к разработке и исследованию численных алгоритмов для «вычислительно-трудоемкой» задачи моделирования динамики газодисперсных сред методом гидродинамика сглаженных частиц (Smoothed Particle Hydrodynamics, SPH).

В лекции будет обсуждаться проблема допустимости разрывов в решениях системы двух гиперболических уравнений законов сохранения, описывающих квазипоперечные волны в нелинейно-упругих слабоанизотропных средах. Для определяющей системы уравнений рассмотрим стандартный метод вязкой регуляризации. Такая регуляризация приводит к тому, что разрыву соответствуют два различных вязких профиля. Будет продемонстрировано, что один из этих двух профилей устойчив, а второй неустойчив в линейном приближении. Таким образом, в определение допустимости разрыва необходимо включать требование устойчивости структуры разрыва (вязкого профиля).

В докладе представлены актуальные задачи вычислительной геофизики. Во-первых, приводятся математические модели сред различной релогии, описывающие распространение сейсмических волн в земной коре, и численные методы (как сеточные, так и методы машинного обучения) применяемые для моделирования волновых процессов в таких средах. Во-вторых, обсуждаются задачи численного апскейлинга физических свойств горных пород и различных физикохимических процессов в пористых геосредах. Например, приводятся примеры оценки относительных фазовых проницаемостей на основе численного моделирования многофазных потоков в поровом пространстве, оценки изменчивости проницаемости пород в процессе химического выщелачивания матрицы породы, оценка затухания сейсмических волн от геометрии сетей трещин и пр.

Будет рассказано об одном методе доказательства существования вынужденных колебаний в неавтономных системах. Предлагаемый подход значительно упрощает схему доказательства существования по сравнению с классическими подходами (метод продолжения решения по параметру). В некоторых же случаях классический подход вообще не может быть использован. Предложенный метод будет проиллюстрирован на примере цепочки существенно нелинейных осцилляторов во внешнем поле, а также на примере периодического возмущения геодезического потока.

В докладе будет рассказано о некоторых задачах двухфазной газодинамики (исследование стационарных сферически-симметричных движений, задача о стационарных движениях в канале, задача о структуре фронта ударной волны). Качественное исследование этих задач сводится к изучению динамических систем, которые имеют неизолированные особые точки. Зачастую эти особые точки имеют естественную интерпретацию, поэтому описание динамики хотя бы в некоторой их окрестности представляет интерес. Часть доклада будет посвящена стандартным методам исследования особых точек: теорема Адамара-Перрона, теорема о центральном многообразии, принцип сведения и др. Особенностью систем,
возникающих из задач двухфазной газодинамики, является наличие выделенных особых точек, в которых линейная часть векторного поля исследуемой динамической системы имеет нулевое собственное значение кратности два и выше. О том, как может быть устроен
фазовый портрет в окрестности таких особых точек, также будет рассказано. В заключительной части доклада речь пойдет о бифуркациях, возникающих в динамических системах с неизолированными особыми точками.